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 Cálculo Integral

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chapis
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MensajeTema: Cálculo Integral   Vie 13 Mayo - 23:53

Haber compañeros como ya falta menos para regresar, por que no empezamos a ver que es el cálculo integral.

Empiezo con este primer tema:


Integración


Haber según Granville nos dice que nosotros ya estamos acostumbrados a las operaciones inversas de adicción y sustracción, multiplicación y división, elevar una potencia y extraer una raíz.
Por ejemplo a continuación los miembros de una columna son, respectivamente, las funciones inversas de los segundos miembros de la otra columna.

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Los problemas en cálculo integral dependen de la operación inversa, a saber:

Hallar una función f(x) cuya derivada es conocida:

EJEMPLO (1) f´(x) = φ(x)

φ simbolo llamado Fi.

O bien, pues que en el cálculo diferencial es usual emplear diferenciales, podemos escribir.

EJEMPLO (2) df(x)= f´(x)dx = φ(x)dx

Y enunciar el problema del Cálculo Integral como sigue:
Dada la diferencial de una función, hallar la función.

La función f(x) que así se obtiene se llama una integral de la expresión dada; el procedimiento de hallarla se llama integración; la operación se indica escribiendo el signo integral ∫ delante de la expresión diferencial dada; así
EJEMPLO (3)
∫f´(x)dx = f(x)

Leyéndola como la integral de la f´(x)dx es igual a f(x). La diferencial dx indica que x es la variable de integración.

Por ejemplo:

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Según las explicaciones anteriores:
La diferenciación y la integración son operaciones inversas.
Si diferenciáramos nuestro ejemplo 3 tendriamos:
(4) d ∫f´(x)dx = f´(x)dx

Sustituyendo en el ejemplo 3 el valor de f´(x)dx[=df(x) ] según en el ejemplo 2, se obtiene:

(5) ∫df(x)=f(x)

Por tanto, si d/dx e ∫...dx se consideran símbolos de operación, son inversos el uno del otro. O si empleamos diferenciales, d e ∫son inversos el uno del otro.

Cuando d antecede a ∫, como en (4), ambos signos se anulan mutuamente; pero cuando ∫ antecede a d, como en (5), eso en general no es cierto. Para ello debemos comprender la definición de la constante de integración el cual lo publicaré mañana.

Espero sus comentarios o alguna forma mas fácil de entender.
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Alesidrosas
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Sáb 14 Mayo - 12:14

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Emmanuel
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Sáb 14 Mayo - 14:05

Bueno aqui la verdad si ando bien perdido, pero si me enseñan aprendo, lo que tengo duda es acerca de ¿en que se diferencian las integrales definidas de las indefinidas?, y ¿si hay un proceso standar que sea valido para los 2 tipos?.

A un mes de regresar, creo que es bueno ir viendo, asi al rato se nos facilitaran las cosas, gracias a chapiz y ales por estas bases, y espero nos puedan ampliar mas la tematica.

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Alesidrosas
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Sáb 14 Mayo - 14:30

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Aunque existen fórmulas para desarollarlas no son como recetas de cocina, pues muchas hay que buscarle para que se "adapten" a las establecidas.
En muchos de los casos habrá que desarrollar los polinomos para llegar al resultado, en otros habrá que aplicar distintos procedimientos. En fin vamos a estar ocupadisimo con esto, sobre todo los que ya tenemos años sin verlos.

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Emmanuel
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Sáb 14 Mayo - 14:44

Si creo que voy a tratar de no perder el tiempo y comenzar a ilustrarme en el tema

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chapis
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Mar 17 Mayo - 1:24

Constante de Integración.- Integral indefinida


Acompletando mas información de lo que expuso Alex y continuando el primer post se sigue que:

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En general como

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Siendo C una constante cualquiera, tenemos:

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La constante arbitraria C, se llama constante de integración, y es una cantidad independiente de la variable de integración. Puesto que podemos dar a C cuantos valores queramos, se sigue que si una expresión diferencial dada tiene una integral, tiene también una infinidad de integrales que difieren sólo en constantes. Por tanto,

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Y puesto que C es desconocida e indefinida, la expresión
f(x)+C

Se llama integral indefinida de f´(x)dx.

Es evidente que si ϕ(x) es una función cuya derivada es f(x), entonces ϕ(x)+C, siendo C una constante cualquiera, es igualmente una función cuya derivada es f(x), de aquí se deduce:

Teorema.-Si dos funciones difieren en una constante, tienen la misma derivada.

Sin embargo no es obvio que si ϕ(x) es una función cuya derivada es f(x), todas las funciones que tengan la misma derivada f(x) sean de la forma ϕ(x)+C, siendo C una constante. En otros términos se tendría que demostrar:

Teorema recíproco. Si dos funciones tienen una misma derivada, su diferencial es una constante.

Demostración.- Sean ϕ(x) y Ψ(x) dos funciones que tengan la misma derivada f(x). Sea,

F(x)=ϕ(x)-ψ(x); entonces por hipótesis

(1)F´(x)=d/dx [ϕ(x)-ψ(x) ]=f(x)-f(x)=0

Pero según la fórmula del teorema del valor medio.

Si f(x) y F (x), y sus primeras derivadas, son continuas en todo intervalo [a,b], y F´(x) no se anula dentro del intervalo, entonces, para algún valor x=x1 comprendido entre a y b es:
f(a+Δa)-f(a)=Δaf´(a+θ∙Δa) (0<θ<1)

Por lo tanto tendríamos
F(x+Δx)-F(x)=ΔxF´(x+θ∙∆x) (0<θ<1)
∴F(x+∆x)-F(x)=0


[Puesto que según (1)la derivada de F(x)es cero para todo valor de x]

Y F(x+∆x=F(x)

Esto significa que la función F(x)=ϕ(x)-ψ(x) no cambia de valor al da a x el incremento en Δx; es decir, ϕ(x) y ψ(x) difieren.

El valor C puede determinarse en caso de que se conozca el valor de la integral para algún valor de la variable.

Lo que se puede afirmar es que toda función continua tiene una integral indefinida. En todos los casos de integración indefinida, el criterio que se debe tomar para verificar los resultados es que la diferencial de la integral ha de ser igual a la integral dada.

Hasta aquí culmina este tema, posteriormente les pondré las reglas para integrar las formas elementales ordinarias.

ψ simbolo llamado Psi
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chapis
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Miér 18 Mayo - 22:55

REGLAS PARA INTEGRAR LAS FORMAS ELEMENTALES ORDINARIAS.

Las dos reglas siguientes son útiles para la reducción de expresiones diferenciales a integrales inmediatas.

a)La integración de una suma algebraica de la expresión diferencial es igual a la misma suma algebraica de las integrales de esas expresiones.
Ejemplo:

Diferenciando la expresión.
∫du+∫dv-∫dw

Siendo u, v, w funciones de una sola variable, se obtiene:
du+dv-dw

Aplicando la fórmula para hallar las diferenciales de funciones:
d(u+v-w)=du+dv-dw
Quedando:

(1)∴∫(du+dv-dw)=∫du+∫dv-∫dw

b) Un factor constante puede inscribirse o delante del signo integral o después de él.

Diferenciando la expresión.

a∫dv
Aplicando la fórmula para hallar las diferenciales de funciones:
d(cv)=c dv
a dv
Quedando:
(2)∴adv=a∫dv

En estos días coloco las formulas de integrales inmediatas o también conocidas como "formas elementales ordinarias".
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chapis
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Dom 29 Mayo - 23:12

Hola compañeros se que les he quedado mal con este post, pero tengo un sin fin de cosas por hacer, ya en esta semana tengo menos obligaciones por antender, pero quiero saber si alguien puede explicar mejor esto de manera a que sea mas comprensible.
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josemanuel31
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Lun 30 Mayo - 7:44

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josemanuel31
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Lun 30 Mayo - 7:44

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josemanuel31
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Lun 30 Mayo - 7:45

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carrenor
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Lun 30 Mayo - 8:38

Considero que no solo es importante conocer de alguna manera a la integral como la operación inversa de la diferencial de una función.
También es importante saber que la integral representa el área total delimitada entre la curva de la función y el eje de la variable independiente, tomando como límites los puntos del intervalo definido en los límites de la integral (La derivada indica la pendiente a curva de la función en un punto dado, la integral representa el área de la función)

RC
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Nicky :)
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Lun 30 Mayo - 18:26

Chapis hermosa!

Leí tu post, espero con lo que han puesto los compañeros te este sirviendo sino ya sabes, seguimos en esto... bueno yo sólo verifico por que la neta esto de las mate jamás se me dieron y no creo que se me den Smile

Sigan chicos!!!!

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De tantas caídas una aprende que lo mejor siempre será levantarse, sacudirse y continuar....

Lo complicado es perdonar a quien nos hace tanto daño...
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Emmanuel
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Vie 3 Jun - 23:59

carrenor escribió:
Considero que no solo es importante conocer de alguna manera a la integral como la operación inversa de la diferencial de una función.
También es importante saber que la integral representa el área total delimitada entre la curva de la función y el eje de la variable independiente, tomando como límites los puntos del intervalo definido en los límites de la integral (La derivada indica la pendiente a curva de la función en un punto dado, la integral representa el área de la función)

RC

Es verdad lo que menciona, gracias por la observación, yo supongo que de nuevo vamos a estar haciendo gráficas.

Por otro lado les propongo seguir este hilo basándose en nuestro libro de Texto de Leithold que ya hemos empleado en calculo diferencial, ya que la verdad le he echado una ojeada y se me hace muy clara la explicación.

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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Sáb 4 Jun - 0:55

Bueno ya le empece a machetear con esto, voy con los teoremas

∫d(F(x)) = F(x) +C

1.- ∫dx = x + C

2.- ∫af(x)dx = a ∫ f(x)dx

3.- ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x) + ∫g(x)

Si f1,f2.....fn Estan definidas en el mismo intervalo entonces:

∫[c1f1(x) + c2f2(x) + ......cnfn(x)]dx

Es igual a:

c1 ∫f1(x)dx + c2 ∫f2(x)dx +........+cn ∫fn(x)dx

Donde c1,c2.......cn son constantes.

4.- Si "n" es un numero racional entonces.
∫x^ndx = x^n+1/n+1 + C cuando n ≠ -1

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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Lun 13 Jun - 15:27

Pues vengo apenas checando las materias que me apuran que son calculo integral y matematicas discretas y veo que todavía algunas cosas están "prendidas con alfileres", para empezar la actividad 1 que es de calculo que es un foro aun no esta disponible, y la pregunta obligada es ¿y ahora que hago?.

También los famosos arbolitos de contenidos (si esos de los relojes y las palomas ) aun no están y en su lugar hay de nuevo puros PDFś.

Así que ahora voy haciendo las instrucciones del foro en una hojita de word, para solo transcribir al final, ¿o existe una mejor solución?

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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Lun 13 Jun - 17:48

Pues asi mero lo voy a hacer, copio de PDF a hoja de texto y voy realizando las actividades y guardo para su oportunidad.
Nos dará la chance de ir avanzando sin preocuparnos del famoso relojito.

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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Lun 13 Jun - 23:39

Hola chicos, perdón por dejar este hilo inconcluso, pero hay circunstancias que no mas no te dejan concluir con tus pendientes, pero bueno espero que este hilo despeje las dudas que nos vayan surgiendo.
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Emmanuel
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Dom 19 Jun - 17:02

Aquí ya no comprendí unas instrucciones de las sumas de Riemann, y es el hecho que nos dice:

Evaluar la suma de Riemann para F(x)=5x-6, en el intervalo [2,5]. b) Evalúa
5 =5x 6dx
2

¿Como que es lo mismo no lo primero que lo segundo? porque ya me salio la che integral o por lo menos ya vi de donde sale todo, y ya me dio webita hacer mas desarrollo en caso de que falte algo

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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Dom 19 Jun - 18:22

Hola emmanuel:

Sí. lo que se debe hacer es en el inciso a) calcular la integral con la suma de Riemann:
La sumatoria f(xi)Deltax

y el inciso b) usando la definición de la integral definida.





Area= Limite (n tiende a infinito) De la sumatoria de f(xi)Delta x






Disculpa, no pude pegar las fórmulas en el post
El resultado de la integral definida te debe salir a 34.5



Saludos : Sing.
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Emmanuel
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Dom 19 Jun - 18:35

sing escribió:
Hola emmanuel:

Sí. lo que se debe hacer es en el inciso a) calcular la integral con la suma de Riemann:
La sumatoria f(xi)Deltax

¿Aqui es hasta donde te sale la expresión mas chiquita no la que no se puede simplificar mas?

y el inciso b) usando la definición de la integral definida.





Area= Limite (n tiende a infinito) De la sumatoria de f(xi)Delta x

Aqui seria calculando el limite como dices cuando n tiende al infinito





Disculpa, no pude pegar las fórmulas en el post
El resultado de la integral definida te debe salir a 34.5



Saludos : Sing.

Pues si me sale el resultado, y pues aparte me avente una comprobación sacando el area mediante integral definida (grafiquita y todo)y pues si me da lo mismo.

Nomas que me costo uno y la mitad del otro el entenderle bueno ora si la neta los de la ESAD se pulieron en las explicaciones, lo que sea, solo que en la parte donde se tiene que trabajar con identidades y reglas de sumatoria falto un poquitin de desglose, por eso te quedas de a ¡¡¡ah caon!! ¿y esto de donde sale? Shocked

Si con todo lo que puse en mi ejercicio no complazco al facilitador pues ya estubo que no se que mas quiere Laughing

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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Dom 19 Jun - 18:44

Así es emmanuel. La diferencia entre una y otra es que a la sumas de Riemann no le aplicas el límite y al aintegral definida sí.


Sí. Y es más díficil entender cuando sólo se lee que viéndolo resolver en clases normales con profesor y todo.

Saludos y buena suerta en tu actividad. Very Happy
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Emmanuel
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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Dom 19 Jun - 18:46

Muchas gracias sing por la respuesta, aunque sabia que si me había salido el resultado pue como que no me cuadraban del todo las cosas, ahora ya entendí como esta la onda.

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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Dom 19 Jun - 19:05

jajaja bueno abusando creo que el ejercicio siguiente el de f(x)=x^3-7 esta equivocado ya que nos dan el intervalo [3,4] y des pues nos piden que evaluemos en a= 2 y b=5 esto al parecer es porque parece que al redactar el ejercicio hicieron un copy-paste del ejercicio anterior, bueno ¿sera esto así? hay disculparan las molestias pero mi facilitador solo entre semana esta en linea

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MensajeTema: Re: Cálculo Integral   Dom 19 Jun - 19:33

En principio, si se puede hacer como lo marca el planteamiento del problema.
primero hacer la suma de riemann con el intervalo [3,4]

Y luego hacer el inciso b),¡otra vez! [Tienes que estar registrado y conectado para ver esa imagen] calculando la suma de riemann en éste otro intervalo [2,5]para después aplicarle el límite y obtener la integral definida.

Pero si tienes buen contacto con tu facilitador y responde rápido hazle saber tu duda y ella o él te diran con certeza que hacer.
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